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In mwbwmatematica, una mwcaδ-algebra (pronunciata mwcqdelta-algebra) su di un mwcginsieme mwcw Ω Ω {\displaystyle \Omega } , è una famiglia di sottoinsiemi di mwda Ω Ω {\displaystyle \Omega } che sia chiusa rispetto all'operazione di mwdqintersezione al più numerabile e di mwdgpassaggio al complementare.

• Definizione

• Equivalenza tra δ e σ -algebre

Sia mweq Ω Ω {\displaystyle \Omega } un insieme non vuoto, e sia mweg G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} una famiglia di sottoinsiemi di mwew Ω Ω {\displaystyle \Omega } (ovverosia, un sottoinsieme dell'mwfainsieme delle parti di mwfq Ω Ω {\displaystyle \Omega } ). Diremo che mwfg G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} è una δ-algebra su mwfw Ω Ω {\displaystyle \Omega } se:

1. L'insieme vuoto mwgg ∅ ∅ {\displaystyle \emptyset } appartiene ad mwgw G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} : mwha ∅ ∅ ∈ ∈ G {\displaystyle \emptyset \in {\mathfrak {G}}} .

2. Se un insieme mwhg A {\displaystyle A} è in mwhw G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} , allora il suo complementare è in mwia G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} : mwiq A ∈ ∈ F ⇒ ⇒ A c ∈ ∈ G {\displaystyle A\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A^{c}\in {\mathfrak {G}}} .

3. Se gli elementi mwiw A i {\displaystyle A_{i}} di una famiglia mwjanumerabile di insiemi mwjq { A i } i ∈ ∈ N {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }} sono in mwjg G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} , allora la loro intersezione è in mwjw G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} : mwka A i ∈ ∈ G , ∀ ∀ i ∈ ∈ N ⇒ ⇒ ⋂ ⋂ i ∈ ∈ N A i ∈ ∈ G {\displaystyle A_{i}\in {\mathfrak {G}},\forall i\in \mathbb {N} \Rightarrow \bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathfrak {G}}} .

Si dimostra che il concetto di δ-algebra coincide con il concetto di mwlqσ-algebra. Infatti, sia mwlw G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} una δ-algebra su mwmaX. Per essere una σ-algebra deve essere chiusa rispetto al complementare e rispetto all'unione al più numerabile. La prima condizione è già soddisfatta, per la seconda. Sia mwmq { A i } i ∈ ∈ N {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }} una famiglia al più numerabile di insiemi della δ-algebra:

mwna ⋃ ⋃ i ∈ ∈ N A i = [ ⋂ ⋂ i ∈ ∈ N A i C ] C {\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}=\left[\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}^{C}\right]^{C}}

avendo usato il mwngteorema di De Morgan. Ora mwnw A i C {\displaystyle A_{i}^{C}} appartengono alla δ-algebra perché essa è chiusa rispetto al complementare. Essa è chiusa anche rispetto all'intersezione. Si conclude che è chiusa anche rispetto all'unione al più numerabile.